أصول المنطق الرياضي (محمد ثابت الفندي)

3:01 ص | التسميات: علوم, فلسفة, منطق

• إننا نجد الدقة بادية في كل مراحل الرياضيات بحيث تتوقف كل قضية لاحقة على قضايا سابقة تم برهانها وبحيث لا تقبل قضية لم تبرهن بالإستنباط مما سبق برهانه من قضايا هذا العلم أو من مقدماته الأولى.

• واضح أن هناك فرقاَ شاسعاً بين استعمال اللغة العادية والرموز في الرياضيات، وكذلك الأمر في المنطق.

• لقد ضلل اشتراك علمي النفس والمنطق في موضوعاتهما علماء المنطق حين جعلهم يلتجئون دائماً في دراساتهم المنطقية إلى علم النفس بحيث يبدو المنطق بدون مبالغة فصلاً متمماً لذلك العلم، وهذا ما يعيبه مناطقة آخرون بما فيهم راسل.

• إذا كانت نزعة الوجسيسم عيباً في علم النفس فإن نزعة السيكولوجسم عيب في المنطق أيضاً، ثم انها فوق هذا كما يتضح من كلام داجوربرت ريونز عيب يتجاوز حدود المنطق ويمتد حتى يشمل مسائل الفلسفة كلها.

• المنطق شيء مجرد وصوري بينما ينصب علم النفس على شيء مشخص، فالحياة الفكرية بحذافيرها وفي وجودها المشخص هي موضوع لعلم النفس. فإذا ما جردناها عن محتوياتها فنحن في مجال المنطق.

• إن حقائق المنطق تظل قائمة حتى ولو لم يكن هناك فكر أو عقل ولا أيضاً عالم واقعي إذ تظل قائمة في عوالم ممكنة كتلازم بين قضايا بعضها ابتدائية وبعضها الآخر مشتق منها. (برتراند راسل)

• المنطق الرياضياتي لا يمكن ان يعتبر مستقلاً عن الميتافيزيقا كما يريد أنصاره، شأنه شأن المنطق دائماً لا غنى له عن أرضية ميتافيزيقية يستند إليها مهما كان الأمر.

• يبدو لنا أن المنطق في أية صورة له، رياضياتياً كان أم غير رياضياتي، هو جوهر الفلسفة ولا سبيل إلى التفلسف بدون منطق.

• من أهم خصائص اللوجستيقا أنه لا يؤكد فقط أنه نظرية رياضياتية وإنما يؤكد أساساً أن الرياضيات البحتة كلها من المنطق الصوري في هيئته الرياضياتية هذه وانما امتداده لحدوده وقضاياه فهي صورية مثله ولا شيء فيها غير المنطق الصوري.

• لقد درج هلبرت على تسمية الأبحاث الأكسيوماتيكية بــ "ما بعد المنطق" Metalogic أحياناً، وبــ "ما بعد الرياضيات Metamathematics أحياناً أخرى.

• اصطلاح المنطق الرياضياتي قد يؤدي إلى التباس لأنه يوهم منذ البداية بأنه منطق خاص بالرياضيات وحدها، في حين أن المقصود هو المنطق نفسه أصبح في ذاته نظرة رياضياتية..

• اننا نفهم الآن أفلاطون أكثر مما فهم نفسه، فهو كثيراً ما أساء فهم نظريته في المُثُل بل وكثيراً ما عبر عنها بنقيض ما أراد. (كانط)

• إن أهمية طريقة الجدوال تجيء في الواقع من أنها تسمح بأن نتبين دفعة واحدة، أعني بدون حاجة إلى معرفة توتولوجيات أخرى، إذا كانت القضية التي هي موضع النظر قانوناً أم لا.

=================================================

▬ [..] فأما الأسباب العلمية فمنها التطلع إلى ما هو جديد وعلمي بل ورياضياتي بالذات في مجال كمجال المنطق الذي كان أبعد الأشياء عن الدقة الرياضياتية - مع شدة حاجته إليها - نظراً لإلتصاقه الطويل العريق باللغة وألفاظها حتى لكأنه علم من علوم اللغة، وفي الواقع رايى ديكارت لهذا السبب نفسه ان المنطق أشبه بالبلاغة، ومن ثم فقد بحث عن منهج جديد للكشف عن الحقيقة غير المنطق، مع أنه من المفروض أن يكون بالذات أدق العلوم وأضبطها. أما الاسباب الفلسفية فمنها التطلع إلى مضامين فلسفية جديدة لأنواع الحساب المنطقي الكثيرة من حيث أن هذه الانواع ربما كان لها أثرها في فكرة "الحقيقة" Truth وفي تكييف وتقويم جديدين لها في الفكر الفلسفي. وهذا ما تؤكده بعض الأوساط الفلسفية المنتصرة للمنطق الرياضياتي الحديث والتي تجعل منه أساساً للفلسفة من وجهة نظرها أو حتى تجعل منه الفلسفة بحذافيرها إبتداء من مدرسة مُنشيء المنطق الرياضياتي برتراند راسل وتلاميذه في انجلترا (من أمثال فتجنشتين) إلى المدرسة المعروفة الآن بالتجريبية الجذرية في أمريكا (عند أمثال كرناب و ريشنباخ ومروراً بفلاسفة دائرة فينّا من أمثال شليك وهانز هان وكذلك فلاسفة متفرقين من أمثال تشيوستك في بولندة ولورنتز في ألمانيا وغيرهم). هؤلاء وآخرون معهم لا يرون فارقاً جوهرياً بين منطقهم الرياضياتي الجديد وموضوع الفلسفة من وجهة نظرهم، فهم على أساسه يفلسفون وفي ضوئه ينادون بفلسفة علمية وفهم علمي للحقيقة. صــ15

▬ المنطق في صورته الرياضياتية أصبح كالهندسة أو الجبر نسقاً استنباطياً صرفاً، أي يُبَرهن قضاياه جميعها، اللاحقة منها استناداً إلى السابقة، والجميع استناداً إلى المقدمات الإبتدائية (المسلمات) المقبولة في أول هذا العلم. ولا يمكن أن يوسف حينئذ كما لا توصف الهندسة أو الجبر بالمعيارية. وهذا يتفق مع ما نفهمه من رأي كانط الذي يقول أن موضوع المنطق "محدد للغاية وهو استعراض وبرهان القواعد الصورية لكل تفكير..." وإن كان كانط لم يحدد مغزى كلامه هذا..صــ40

▬ إذا كان هناك مأخذ من وجهة نظر المنطق الرياضياتي المعاصر على منطق أرسطو فيما يختص بموضوع المنطق فليس ذلك إن من ناحية حصر ارسطو لموضوع المنطق في الإستنباط وقوانينه، وإنما هو فقط في حصر الإستنباط نفسه في قواعد القياس الضيقة وحسب، فلم ينتبه ارسطو إلى ضرورة التوسع في تتبع قوانين الإستنباط بحيث تشمل قوانين أخرى لا تمت إلى القياس اللغوي بصلة، وتلك هي قوانين الإستنباط التي تمارسها الرياضيات، وأوسع العلوم الإستنباطية، والتي يعرفها تماماً اللوجستيقاً. صــ42

▬ يقول برتراند راسل: "مهما تكن اهمية الإستقراء كطريقة للبحث فإنه فيما يبدو لا يستطيع أن ينهض وحده بالبحث. ألا يجعلنا العلم الذي يبلغ كماله أن تعتقد أنه يجب ان يكون استنباطياً بحتاً ؟ وإذا نهض الإستقراء ببحث - وهذا أمر عسير - فهو لا ينهض به إلا على اعتبار أنه مبدأ من المباديء التي يتأدى بها الإستنباط. ومن ثم يظهر أن إدخال الطريقة الإستقرائية لا يعتبر ابتداعاً لنوع جديد من الإستدلال ... وإنما هو توسيع في ميدان الإستنباط بوسيلة استنباطية هي بلا شك غير القياس ولا تدخل في حدود المنطق القديم." صــ75

▬ فائدة الرموز في كل من المنطق والرياضيات فائدة مزدوجة، سيكولوجية وعلمية. فمن الناحية السيكولوجية تعفي الرموز الذهن من تأمل الصلات بين المعاني اللغوية وتصرف الذهن كله إلى تأمل العلاقات الصورية أو الرياضياتية وحدها. ومن الناحية العلمية تكسب الرموز العلم دقة وتجريداً وعموماً. والرمز ليس مستحدثاً في المنطق ولكن الرياضيات أحوج إليه ومستحيلة بدونه في حين قد يستغني المنطق عنها اكتفاء باللغة كما يدل عليه التاريخ الطويل للمنطق التقليدي. صــ92

▬ في السنوات القليلة التي تلت ظهور الكتاب الذي اشترك فيه راسل مع وهويتهد كان هناك قمة من قمم الرياضيات الحديثة هو ديفد هلبرت لا يوافق راسل على أن تكون الرياضيات منطقاً صورياً صرفاً، وأخذ يطور فكرة في أصل الرياضيات والمنطق معاً سماها "النظرية الأكسيوماتيكية" Axiomatic theory. ورغم أن النظرية اللوجستيقية في صلة العلمين وجدت أنصاراً كباراً من أمثال كواين وتشيوستك إلا أن الأبحاث في الخمسين سنة الأخيرة نحت في اغلبها النظرية الأكسيوماتيكية هذه التي عمقت فكرة "المسلمات" في الرياضيات والمنطق وبحثت شروط قيامها وتأسيسها. وديفد هلبرت أستاذ الرياضيات بجامعة برلين حتى نهاية الحرب العالمية الثانية لا يرى في المنطق فرعاً من الرياضيات، ولا في الرياضيات فرعاً من المنطق، وإنما يرى أنهما شيئان نبعاً معاً متحاذيين أو متوازيين من منبع واحد أبعد منهما هو الطريقة الأكسيوماتيكية أو الصورية الصرفة Pure formalism التي هي الأساس الأول والبعيد لعلمي الرياضيات والمنطق معاً. صــ105

فقرة عن النظرية الحدسية في الرياضيات..

▬ وما المنطق والأكسيوماتيك في نظر هؤلاء (أي الحدسيين) إلا الوسيلة العلمية "اللاحقة" "لإستعراض" أو "شرح" أو "بسط" تلك الكشوف والتجارب الرياضياتية الأصيلة في صورة واضحة يفهمها الآخرون الذين لم يكتشفوها. فهناك إذن فرق واضح بين منابع الرياضيات وبين بسط الرياضيات وتقديمها إلى الآخرين، فالمنابع تجريبية أو حدسية، أما العرض اللاحق للتجربة أو الحدس فهو منطقي أو أكسيوماتيكي ولا فرق بينهما هنا. صــ109

▬ إن تخصيص رموز الثوابت المنطقية أكسب قدرة على التحول إلى الحساب. ومع أن المنطق التقليدي كان يعرف أكثر هذه الثوابت (ولو كانت معرفة خاطئة) منذ الرواقية إلا أنه لم يستطع أن يتحول إلى حساب لأنه إما أنه كان يعبر عن تلك الثوابت بألفاظ اللغة وإما أنه كان يفترض معرفتها معرفة ضمنية دون أن يعبر عنها، وفي الحالتين يمتنع الحساب. خذ مثلاً السلب في القضية الآتية:"إن الفدائي لم يقتل أمس في المعركة"، وتأمل اللبس الذي يحدث عند الإمعان في صورتها اللغوية فهي تحتمل أن الفدائي لم يُقتل أبداً، أو أنه قُتِل فعلاً ولكن ليس بالأمس، أو أنه قتل فعلاً بالامس ولكن ليس في المعركة. وكل هذه الإحتمالات تورط اشد تورط في الإستنباطات. صــ125

▬ إن إنتباه الوراقيين إلى مثل هذه القضايا (المتصلة، المنفصلة،الشرطية...) يُفصح عن عقلية تبحث عن الصلات بين الأحداث والوقائع لا بين الأفكار والتصورات. يقول اميل برهييه:"تلك لغة مناطقة استقرائيين تؤدي بنا إلى رؤية عالم مكون من وقائع يتسلسل بعضها من بعض ويخالف بالمرة العالم الارسطى [عالم التصورات الكلية]". ولقد ضم المناطقة اللاحقون تلك القضايا الرواقية إلى المنطق الموروث عن أرسطو، وأطلقوا اسم القضية الحملية على القضايا التي عالجها أرسطو تمييزاً لها عن القضايا الرواقية. ولكن هذا التمييز ظاهري فحسب إذن أنهم عاملوا القضايا الرواقية معاملة الحملية سواء بسواء..صــ129

▬ في جبر بول إذا تآلف رمزان أو أكثر مثل: أ ب (أو) أ ب جـ... فإن التركيب الحادث يدل على صنف فئة Class مركبة تنتظم في آن واحد أفراد (أ) وأفراد (ب) في الصيغة الأولى، أو أفراد (أ) وأفراد (ب) وأفراد (جـ) في الصيغة الثانية. فيقول بول إذا كان (أ) يعني "خرافاً" (والمثال من بول نفسه)، (ب) تعني "أبيض" فإن المركب (أ ب) يعني خرافاً بيضاء. للنظر عن قرب في هذه الصيغة فسنلحظ فوراً أن ترتيب رموزها لا يغير شيئاً لأننا إذا جئنا أولاً بفئة الخراف لنؤلف منها فيما بعد فئة "الخراف البيضاء" أو إذا جئنا بفئة "الأبيض" لنؤلف منها فيما بعد فئة "الأبيض في محيط الخراف" فإن النتيجة واحدة بعينها..صــ139

▬ [..] وكما قُلنا كانت التعريفات المشتقة من التضمن ثقيلة وغير سهلة الألفة لأن فكرة التضمن ليست هينة التناول إذا أُتُخِذت حداً ابتدائياً، كما أن اتخاذها حداً إبتدائياً بالمعنى الموضوع لها إصطلاحاً يفترض معرفة سابقة بالنفي والفصل كما هو واضح من الإصطلاح وهذا لما يجعل اشتقاق العمليتين المذكورتين من التضمن شيئاً ثقيلاً أيضاً. وإلى هذا يضاف أن استعمال الكتاب الذي كنا بصدده لألفاظ اللغة يجعل متابعة المسائل أمراً شاقاً. لهذا كله عدل راسل في كتابه المشترك مع هويتهد وهو PM عن التضمن، واتخذ النفي والفصل حدين ابتدائيين يعرِّف بهما كل الحدود المشتقة واستعمل الرموز مما يجعل متابعة التنسيق الإستنباطي في هذا الكتاب أكثر يسراً ووضوحاً. صــ173

▬ هل توجد طريقة أخرى للبرهان على توتولوجيات حساب القضايا الإبتدائية أكثر سهولة في التطبيق ؟ لقد أجاب على هذا السؤال بالإيجاب كل من الفريد تارسكي ولوكازيفتش البولونيين وذلك بإيجاد طريقة جديدة سهلة سمياها طريقة الجدوال Matrix method اتضح من تطبيقها على منطق راسل أنها مرنة جداً بحيث أدت إلى ظهور أنواع لا حصر لها من المنطق غير ذلك المنطق المشترك بين أرسطو وراسل الذي يستند إلى قيمتين اثنتين فقط هما الصدق والكذب. وهذا جانب من جوانب كثيرة من تطور المنطق بعد راسل. صــ188

▬ نوع خاص من تعميم طريقة الجدوال التي تقوم على التوسع في إدخال القيم الجديدة التي قد تذهب إلى أبعد حد، هو المنطق التوبولوجي الذي ذهب إليه كارل همبل عام 1937 وهو نوع خاص من المنطق لا ينظر في قيم محددة كالتي يعالجها منطق المدرسة البولونية وإنما ينظر في موازنات عامة بين تلك القيم المحددة: فإذا فرضنا مثلاً عدداً من القيم المحددة التي يعالجها المنطق من وجهة نظر تارسكي ولوكازيفتش مثل صادق، ومتوسط الصدق، وكاذب، فإن منطق كارل همبل يعالج ما يمكن أن ينشأ من علاقات عامة بين تلك القيم مثل كون بعضها "أكثر صحة" من بعضها الآخر، أو "أقل صحة" أو "يساوي في الصحة" إلى آخر ما هنالك من موازنات عامة ممكنة. صــ204

▬ ينبغي ألا يؤدي بنا تعدد أنواع المنطق المعاصر أو اختلاف منطق ذي قيم متعددة عن منطق آخر له نفس العدد من القيم، أو تفكك وحدة المنطق على هذا النحو، ينبغي ألا يؤدي بنا كل ذلك إلى التشكك في المنطق من حيث هو سند اليقين الأخير، لأننا يجب أن نكون قد تهيأنا بعد ذلك الشوط الذي سلكناه إلى هنا في دراسة وإستعراض المنطق أن نفهم من لفظ المنطق نظرية استنباطية فحسب كغيرها من النظريات الإستنباطية الكثيرة المعروفة والتي تشترك جميعها في طبيعة واحدة هي أن صدق القضايا فيها يتوقف لا على المطابقة بينها وبين حقائق خارج الذهن أو فيه، وإنما فقط على اشتقاقها من العناصر الأولية حدوداً كانت أو مسلمات، تلك العناصر التي يبدأ منها استنباط القضايا المشتقة والتي تختلف من منطق إلى آخر وفقاً لإختيار الحدود والمسلمات، وهذه بدورها وفقاً لهذه النظرية العلمية أو لتلك مما يراد أن يؤسس منطقياً. فإختيار عناصر أولية بعينها يؤدي بالضرورة إلى نوع معين من المنطق يختلف عن غيره من الأنواع دون أن يفقد مع ذلك المنطق "وحدته" من حيث أن تلك الوحدة إنما هي في المنهج العام الذي هو النسق الإستنباطي. صــ206

▬ كون المنطق الكثير القيم منطقاً للتوجيه أو للإحتمال ينشأ عنه أن الحقائق المنطقية التي يعبر عنها منطق كثير القيم يختلف عما يعبر عنه منطق أقل عدداً أو أكثر في القيمة، بحيث إذا حدث أن إنساناً درج على أن يفكر دائماً بالمنطق الثلاثي القيم، أعني مثلاً بعبارات "أكيدة الصحة" V و "ممكن الصحة" ½ و "أكيدة البطلان". (صفر) فإنه يسخر قطعاً من منطقنا الثنائي ويقول لنا جاداً: اذا كنتم تقصدون بـ V ما هو ثابت حقيقة ففي أي شيء تختلف قيمتكم تلك عن عبارتي "أكيدة الصحة" وإذا كنتم لا تقصدون ذلك فأنتم اذن تقرون حقيقة لا حق لكم في اقرارها، بل أنتم كالسُفسطائيين انما تغالطون أنفسكم حين تثبتون ما ليس لكم به علم أكيد. أعطوني مثالاً واحداً لحقيقتكم غير الاكيدة وبينوا لي كيف تفترق عن مجرد "امكان الصحة" عندي ؟ وواضح من مثل هذه المناقشة أن عقلية ذلك الشخص الإفتراضي لا تستطيع أن تفكر إلا في حدود منطق ثلاثي القيم. وهكذا تكون أيضاً عقليات تفكر في نطاق قيم أكثر. صــ217